Занятие 4

Алгебра матриц.  Матрицы элементарных преобразований.

 

А.Цели занятия.

 

а. Научиться умножать матрицы на число, складывать их и умножать.

б. Научиться разлагать матрицу на произведение  элементарных матриц.

 

Б.Необходимые факты теории.

 

а.Пусть  A=(aij), B=(bij) – матрицы n-го порядка, l – число.

 

С= A           Û    c_ij = la_ij

 

C = A + B    Û     c_ij=a_ij + b_ij

 

C = AB        Û    c_ij= a_ikb_kj

 

b.Пусть  A=(aij) – матрица n-го порядка, s_i – i-я строка _этой матрицы, s_j^{^} -

 j-й столбец,  m – число.

Следующие преобразования матрицы А называются элементарными:

1.ms_{i  -} умножение  i-ой строки на число.

      2.s_i« s_j  - перестановка  i-ой и  j-ой строк.

3.s_i + ms_j – прибавление к i-ой строке j-ой, умноженной на число m.

Вместо строк можно взять столбцы.

 

Пусть Е – единичная матрица.

Следующие матрицы называются матрицами элементарных преобразований:

 

1.C_i(m) – получается из Е заменой  i-ой сверху единицы числом m.

 

2.T_ij – получается из Е перестановкой  i-ой и j-ой строк.

 

      3.H_ij(m) – получается из Е заменой числа a _ij = 0 числом  m .

 

Следующие шесть правил следует безукоризненно помнить и уметь доказывать:

 

       1.C_i(m)A  Û   ms_i

     

       2.T_ijA       Û   s_i « s_j

 

       3.H_ij(m)A Û   s_i + ms_j

 

       4.AC_i(m)  Û  ms_i^{^}

 

 

       5.AT_ij       Û   s_i^{^} «  s_j^{^}

 

 

       6.AH_ij(m) Û   s_j^{^} + ms_i^{^}

 

Эти правила следует не только уметь писать, как записано выше, но и обязательно уметь очень быстро проговаривать:

 

1.Умножение матрицы А на матрицу   C_i(m)   слева равносильно

   тому,  что в матрице А   i-я строка умножается на число  m .

 

         2.Умножение матрицы А на матрицу    T_ij   слева равносильно

            тому,  что в матрице А   i-я  и  j-я строки меняются местами.

 

3.Умножение матрицы А на матрицу     H_ij(m)  слева равносильно

   тому,  что в матрице А   к i-й  прибавляется   j-я, умноженная

   на число  m .

 

4.Умножение матрицы А на матрицу   C_i(m)   справа равносильно

   тому,  что в матрице А   i-й столбец умножается на число  m .

 

5.Умножение матрицы А на матрицу   T_ij   справа равносильно

   тому,  что в матрице А   i-й и j-й столбцы меняются местами .

 

6.Умножение матрицы А на матрицу   H_ij(m)     справа равносильно

   тому,  что в матрице А   к j-му столбцу прибавляется i-й,  умно-

   женный на число  m .

 

Прошу сопоставить правила 3 и 6 и заметить их некоторую несимметричность.

 

c.Матрица А^-1 называется обратной к А, если:

 

                                   АА^-1 = А^-1А = Е,

 

где Е единичная матрица.

 

Во всей Вселенной справедливо следующее правило «одевания-раздевания»:

 

                          (ABCDEFGH)^-1 = H^-1G^-1F^-1E^-1D^-1C^-1B^-1A^-1

 

Нам предстоит научиться находить матрицы, обратные к данным. Для элементарных матриц это делать очень легко:

              

                           C_i^-1(m) = C_i(1/m).

                          

                           T_ij^-1 = T_ij.

 

                           H_ij^-1(m) = H_ij(-m).

 

В. Задачи.

 

1.Даны матрицы:

 

,     .

 

Найти:

 

С=5A, D=-2B, H=A+B, K=B-A, M=AB, N=BA.

 

2. 

      ,  .

 

C=AB=?, D=BA=?, H=A² = ?

                                  

Ответ:

 

 

 

 Разложить матрицу А и матрицу А^-1 на произведение элементарных матриц:

 

1.    2.    3.

 

 

 

4.