Новосибирский государственный технический университет

Кафедра высшей математики

Экзаменационные вопросы по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

для студентов механико-технологического факультета потока ТМ1  .

 

 Вопросы  программы.

1.        Что такое математика? Какие два основных понятия лежат в основе математики?

2.        Понятие множества. Основные теоретико-множественные операции (объединение, пересечение, разность, декартово произведение). Понятие n-мерного пространства.

3.        Понятие функции: три точки зрения на её понимание (механистическая, формально-логическая и геометрическая).

4.        Основные операции над функциями (сложение, умножение, композиция, нахождение обратной функции).

5.        Метод расщепления множества на линии.

6.        Основная формула линейной алгебры.

7.        Понятие кривой в R². Три формы задания кривых .

8.        Понятие поверхности в R³. Три формы задания поверхности.

9.        Поверхности вращения: вывод общей формулы. Примеры задания сферы, цилиндрической и торической поверхностей.

10.     Понятие тела в R³: тело как образ параллелепипеда.

11.     Понятие многообразия в Rⁿ. Линейное и квадратическое многообразия.

12.     Понятие матрицы. Единичная, нулевая, треугольная, транспонированная, симметрическая матрицы. Операции над матрицами. Теорема о некоммутативности умножения матриц.

13.     Элементарные преобразования матрицы и матрицы элементарных преобразований. Шесть замечательных правил соответствия элементарных преобразований и их матриц.

14.     Понятие обратной матрицы. Матрицы, обратные к элементарным.

15.     Теорема о композиции линейных функций. Нахождение обратной функции для композиции функций. Нахождение обратной матрицы для произведения матриц.

16.     Квазиединичная матрица, её ранг. Теорема о разложении матрицы на произведение элементарных. Понятие вырожденной матрицы. Ранг вырожденной матрицы.

17.     Решение невырожденных систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Усовершенствованный алгоритм решения.

18.     Определение функции det. Вычисление определителя с помощью определения.

19.     Шесть классических свойств определителя.

20.     Определитель треугольной матрицы. Самый рациональный способ вычисления определителя.

21.     Выражение определителя через элементы исходной матрицы: для матриц второго порядка, для матриц третьего порядка, для матриц n-го порядка.

22.     Миноры и адъюнкты. Теорема о разложении определителя по строке.

23.     Теорема Крамера.

24.     Нахождение обратной матрицы с помощью адъюнктов.

25.     Понятие вектора в R³. Отождествление вектора с направленным отрезком. Умножение вектора на число, его геометрический смысл. Сложение векторов, его геометрический смысл. Вычисление длины вектора.

26.     Понятие базиса. Теорема о представлении произвольного вектора  в R³  в виде линейной комбинации базисных векторов. Стандартный базис. Представление вектора через стандартный базис.

27.     Скалярное произведение векторов  в R³, его геометрический смысл.

28.     Векторное произведение векторов в R³, его геометрический смысл.

29.     Смешанное произведение векторов  в R³, его геометрический смысл.

30.     Векторные операции в Rⁿ. Базис в Rⁿ. Теорема о представлении произвольного вектора в Rⁿ в виде линейной комбинации базисных векторов. Стандартный базис в Rⁿ.

31.     Понятие меры множества. Геометрический смысл определителя. Определитель Грама.

32.     Три основных формы задания прямой в R².

33.     Три основных формы задания плоскости в R³.

34.     Понятие линейного многообразия в Rⁿ: основные формы задания.

35.     Теорема Кронекера-Капелли.

36.     Решение вырожденных систем линейных уравнений: использование теоремы Кронекера-Капелли и форм задания линейных многообразий.

37.     Понятие собственных векторов и собственных чисел матрицы. Нахождение собственных чисел и собственных векторов.

38.     Теорема о собственных числах подобных матриц.

39.     Формула, облегчающая нахождение собственных чисел для матриц второго порядка.

40.     Формула для нахождения собственных чисел для матриц третьего порядка.

41.     Понятие квадрики. Запись квадрики в матричных обозначениях и без помощи матриц.

42.     Задача о поведении квадрики, изменяющейся на единичной сфере в R².

43.     Теорема о собственных числах и собственных векторах симметрической матрицы.

44.     Теорема о приведении квадрик к каноническому виду.

45.     Понятие квадратического многообразия. Алгоритм приведения квадратического многообразия к каноническому виду.

46.     Критерий положительной  определённости квадрики.

47.     Критерий отрицательной определённости квадрики.

48.     Применение критериев положительной и отрицательной определённости квадрик к исследованию функций      f: Rⁿ-->R.

 

 

49.     Понятие функции от матрицы: определение и основная вычислительная формула.

50.     Некоторые замечательные матрицы: нильпотентная, диагональная, ступенчатая, Жорданова клетка, Жорданова форма.

51.     Функции от замечательных матриц.

52.     Теорема о матрице, имеющей хотя бы одно действительное собственное число. Квазиэлементарное преобразование и его матрица.

53.     Три этапа преобразований матрицы к Жордановой форме с помощью элементарных и квазиэлементарных преобразований.

54.     Понятие дифференциального уравнения. Второй закон Ньютона в дифференциальной форме.

55.     Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с применением функций от матриц.

56.     Уравнение Шрёдингера.

 

Некоторые замечания по поводу предстоящего экзамена.

 

1.        Экзаменационный билет состоит из четырёх вопросов: двух теоретических и двух задач. Теоретические вопросы  взяты из данного документа без всяких изменений.

2.        Студенту ставится оценка «отлично», если он ответил на все четыре вопроса при условии, что все контрольные работы написаны им не ниже четвёрки, а типовой расчёт также защищён с оценкой не ниже четвёрки.

3.        Студенту ставится оценка «хорошо», если он ответил на три вопроса при условии, что все контрольные работы и типовой расчёт защищены им на положительную оценку.

4.        Студенту ставится оценка «удовлетворительно», если он ответил на два вопроса при условии, что типовой расчёт он защитил и имеет не более одной двойки по контрольным работам.

5.        Во всех остальных случаях, не охваченных в пунктах 2,3,4, со студентом проводится дополнительное собеседование на выяснение его реальных знаний и заключения об их оценке.

6.        Студенты, имеющие двойки по всем четырём контрольным работам, или вовсе не писавшим эти контрольные работы, до экзамена не допускаются, ибо в течение дня невозможно выяснить их реальные знания.

7.        Досрочно экзамен принимается 30 декабря с 15³⁰ до 22³⁰. Студент имеет право сдать экзамен досрочно, если все оценки по контрольным работам не ниже четвёрки, а по некоторым контрольным есть пятёрки, причём, типовой расчёт 1a защищён в надлежащий срок с оценкой  «отлично».  Студенты отвечают при этом на самые трудные вопросы курса (они выделены в программе жирным шрифтом). Им при этом ставится либо оценка «отлично», либо ничего не ставится.

8.        Вопросы 49 – 56 не входят в программу 2006 года.

 

      Доцент                                            Тищенко Н.Ф.