Б.

 Вначале мы приведём несколько наиболее характерных опре­делений понятия функции, которые будут служить затем отправны­ми точками критического анализа.

Б1. В классическом труде Ф.Хаусдорфа [37] можно прочесть следующее.

"Множество возникает путём объединения отдельных предметов (вещей) в одно целое. Оно есть множественность, мыслимая как единство. Если бы эти или подобные им высказывания выставля­лись в качестве определений, то можно было бы вполне основaтельно возразить, что они определяют idem per idem или  даже obscurum per obscurum.

Однако мы можем их толковать просто как указание на некото­рый первоначальный, всем свойственный акт мышления, который, быть может, и нельзя, а быть может, и не нужно разлагать на другие, более простые акты. Мы придерживаемся именно такой точки зрения и примем в качестве основного положения, что вещь М особым, не подлежащим определению образом определяет собой вещи a , b . c , . . . и что, обратно, эти последние также определяют M ..." (стр. 9).

"Понятие функции такое же основное и первоначальное, как и понятие множества. Функциональное отношение так же строится из пар элементов, как множество из отдельных элементов.”(стр. 12).

Обратим внимание на то, что в рамках теоретико-множествен­ной математики Ф.Хаусдорф относит как понятие множества, так и понятие функции к начальным, исходным, неопределимым поняти­ям. Далее он через эти два начальных понятия определяет в ма­тематике все другие.

Б2. В более современной монографии К.Куратовского и А.Мостовского [16] , выражающей по поводу понятия функции наиболее торжествующее в настоящее время мнение, мы находим следующее.

"Основное понятие теории множеств – множество."(стр. 14).

"Декартовым произведением множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар <x,у>, где x  X и y Y”.(стр. 70).

"Подмножества декартовых произведений (т.е. множества упо­рядоченных пар) будем называть (двуместными) отношениями “. (стр. 72).

"Отношение RXY  называется функцией, если

              (стр.76).”

                 x,y₁,y₂

Заметим, что в данной монографии принимается, что единст­венным исходным неопределяемым понятием математики считается понятие множества. Все же остальные понятия, в том числе и понятие функции, определимы через понятие множества.

БЗ. В одном из самых популярных и солидных учебников, на­писанном знаменитым педагогом-математиком Г.M.Фихтенгольцем (34), функция определяется так.

"Пусть даны две переменные x и y с областью измене­ния X и   Y . Предположим, что по условию вопроса перемен­ной x может быть приписано произвольное значение из области X без калих-либо ограничений. Тогда переменная y назы­вается функцией от переменной Y в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определённое значение y (из Y)." (стр. 95).

Б4. А вот мнение академика П.С.Александрова, изложенное им в третьем издании БСЭ.

"В теории множеств аналитическое понятие функции, геомет­рическое понятие отображения или преобразования фигуры и т.п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны множества X и Y , пусть каждому эле­менту  x X поставлен в соответствие некоторый опреде­лённый элемент   y=f(x) множества Y ; тогда говорят, что имеется отображение множества Х в множество Y или что имеется функция, аргумент x которой пробегает множест­во Y , а значения y принадлежат множеству Y   • • • " ( [l]. стр. 1129).

Б5. В фундаментальном труде академика В.А.Фока мы можем прочесть такое определение.

"Подобно тому, как функция есть рецепт, позволяющий по данному числу x найти другое число y=f(x) , так опера­тор есть рецепт, позволяющий по заданной функции (x) вычи­слить другую функцию

      ([35], cтр.19)