Д.

Обратимся теперь к истории возникновения понятия функции и анализу сущности эпохи момента возникновения данного понятия.

По данным исследований Ф.А.Медведева [23] понятие функции в явном виде впервые появляется в трудах И.Ньютона, относящихся к 1665 - 1666 гг., хотя слово "функция” ещё не используется. Само слово "функция” впервые появляется в рукописях Лейбница от 1673 г. [40] . "Определение функции как аналитического выражения было впервые со всей отчётливостью сформулировано в печати в одной статье И.Бернулли, опубликованной в Memoires de l’Academie des Sciences de Paris за 1718 г.”[40]. "Для обозначения функции Бернулли же вводит символ , записывая при этом аргумент без скобок: x.  Скобки, как и знак функции "f" впервые употребил Эйлер в 1734 г." [40].

Итак, завершение становления понятия функции произошло в промежутке времени от 1665 до 1734 г. Время это характеризуется началом расцвета механистических представлений о мире. Одно из условий этого расцвета - создание мощного математического аппарата для проведения научных исследований. Но основная работа по подготовке такого аппарата была проделана несколько ранее Ньютона, Лейбница, Бернулли и Эйлера - в эпоху Р.Декарта [23] . Именно Р.Декарт сформулировал впервые философию механистического мировоззрения, которое словами Макса Планка выражается следующим образом:

“До настоящего времени наиболее важные услуги оказало физике, несомненно, механистическое мировоззрение. Последнее исходит, как известно, из положения, что все косвенные различия объясняются в конечном счёте движением. Поэтому мы определим механистическое мировоззрение как такое воззрение, согласно которому все физические явления могут быть полностью сведены к движениям материальных точек и материальных элементов”. ( [ЗО], стр. 52).

Давайте проанализируем данное определение механистического мировоззрения в аспекте принятой нами модели мышления. Согласно этому определению природу, вселенную, универсум как реальность можно всегда представлять себе как множество материальных точек, находящихся в движения, т.е. в этой картине мира существует лишь два общих понятия - "материальная точка” и "движение". В силу нашей модели мышления каждое понятие должно обладать образом. Нетрудно видеть, что понятию "материальная точка" соответствует определённый образ - точка как самый элементарный образ геометрии. Но какой же образ соответствует понятию движения?

Именно для изучения явлений движения Р.Декарт изобретает систему координат. "С введением координат движение снимается в терминах протяжённости (пространства) в геометрическом образе кривой линии" ([22], стр. 92).

С помощью изобретённой же системы координат Декарт переводит информацию, заключённую в образе кривой линии, на язык знаков. Кривые у него описываются аналитически в виде знаковых выражений типа

y-x²=0,                    ( I )

               xy-x2+y+1=0.               ( 2 )

Следовательно, явления движений, заключённые в образах кривых, Декарт улавливает в определённые аналитические формы. Но именно движение как явления. А если рассматривать движения как сущности, как причины, заставляющие точки описывать соответствующие траектории? Что тогда они собою представляют? Декарт не отвечает на этот вопрос.

Не смог ответить на этот вопрос и Ньютон, хотя его мысль о том, что "вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить все остальные явления" ([27],стр.3), позволяет нам видеть глубокие размышления Ньютона над сущностью движения. Сущность движения Ньютон называет силами, но он "категорически отказалcя обсуждать причины (происхождение) сил, рассматривая их на уровне "наличного бытия", т.е. как ни к чему больше не сводимые элементы онтологии” ( [ 2 ], стр. 238).

Как же появляются функции у Ньютона? Он использует изобретение Декарта - уловленные в аналитическом равенстве типа ( I ) и ( 2 ) движения, но равенства эти он записывает уже несколько иначе, а именно:

              y=x²,                         (1a)

              ,                       (2a)

разрешая их относительно y . С помощью этих равенств Ньютон продолжает улавливать движения, но теперь уже движения как сущности, движения в чистом виде - силы.

Теперь давайте формализуем представления о механистической вселенной M в виде следующей формулы:

              M={M,F},                 (3)     

где M - множество всех мыслимых частиц, а F   - множе­ство всех мыслимых движений - движений в чистом виде, двигателей, сил. Существенно при этом, что множества М и F   -два несводимых друг к другу и ни к чему другому онтологических множества.

Нетрудно теперь сообразить, что математическая модель этой механистической вселенной приобретёт следующий вид:

                                        M={M,F}                                      (4) 

где M - множество всех точек пространства,  F - множест­во всех мыслимых функций.

Теперь мы можем сделать следующие чрезвычайно важные выво­ды:

1. Символическая формула (4) позволяет со всею ясностью увидеть тот факт, что как понятие множества, так и понятие функции должны относиться к исходным, не определимым друг через друга понятиям математики.

2. В пункте В мы поставили перед собою задачу выделить из понятия функции то, что относится к отображаемому этим поня­тием реальному миру. Мы эту задачу, быть может частично, ре­шили: в понятии функции реальность  отображается через опера­циональный оттенок понимания - это движение в чистой виде, двигатель, сила, оператор, рецепт по В.А.Фоку.

3. Понятию функции не соответствует никакого образа, ибо никакого образа не соответствует движению в чистом виде - той причине, которая заставляет точку совершать перемещение