Е.

Мы произвели анализ понятия функции в эпоху его становления. А теперь попробуем вскрыть ход мыслительного процесса у более поздних творцов математического знания, перед которыми стояла задача не только открывать новые математические факты, но совершенствовать всё математическое здание в целом и обучать математике подрастающие поколения. Им нужно было ещё весьма интуитивное понятие функции выразить в понятийном языке более точно и строго, но при этом возникала существенная психологическая трудность.

Ведь функция была создана для того, чтобы изображать процесс, т.е. сукцессивное явление. В мышлении же понятие как цепочка знаков проходит этап становления и превращается в истинную мысль лишь тогда, когда с него снимается наряд сукцессивности - тогда оно становится симультанным и имеет возможность обладать присущим ему образом. Как же наделить понятие функции образом?

Давайте убедимся в том, что снять оттенок сукцессивности с понятия функции можно только двумя способами.

Для донесения этой очень тонкой мысли мы воспользуемся аналогией, взятой из сказочного фольклора. Представим себе, что мы желаем обнаружить человека, находящегося в шапке-невидимке. Это можно сделать, если данный человек будет действовать и оставлять следы своей деятельности - именно по этим следам мы его и обнаружим.

Но ведь функция, понимаемая с тем оттенком, с которым мы уже научились её понимать, именно и "занята” деятельностью, состоящей в том, что точки x она превращает в некоторые точки  y  . Именно последние и являются следами её деятельности, и когда мы пишем

                      У=f(x),

то стоящий здесь знак равенства с необходимостью наталкивает на мысль отождествить функцию со своим следом - точкой  y .

Когда мы отождествляем функцию с точкой  у, то мы как бы делаем снимок деятельности в одно мгновение Х и получаем самый элементарный образ функции, превращая, тем самым, понятие функции в истинную, т.е. обладающую образом мысль. Если мы сделаем подобные снимки в каждое из возможных мгновений x, то и получим представление о функции как о некотoрой переменной величине  y  (как говорится о ней в определении Б3).

Описанное только что снятие сукцессивности выглядит несколько искусственно, ибо при таком снятии мы как бы стремимся остановить не закончившийся процесс. Сукцессивность сама себя снимает, когда протекут все возможные значения  x.  Тогда функция представится в виде образа, которому соотвутствуют все полученные при этом значения  y  . Заметим, однако, что ни в одном из приведённых в пункте Б определений этот второй способ снятия сукцессивности в чистом виде не содержится, и это объясняется соответствующими историческими обстоятельствами.

Дело в том, что исторически первыми были осмыслены функции с числовыми значениями. Множества значений таких функций отождествляются с точками прямой, и если мы будем рассматривать значения таких функций после снятия сукцессивности вторым способом, то они очень плохо раскрывают себя в виде образа. Очень большая заслуга Р.Декарта состояла как раз в том, что он нашёл выход из этого затруднения и изобрёл понятие графика функции, на котором происходит развёртка образа множества значений функции в некоторый вторичный образ - график, по которому значительно легче судить о самом образе множества значений функции. Именно этот вторичный образ функции и положен в основу определения Б2.

  Заметим, что для создания полноценного геометрического образа функции f:RaR² совсем не нужно придумывать для неё графика, ибо значения таких функций развёртываются на плоскости в виде прекрасно воспринимаемого образа.