И.

Давайте покажем теперь, что этот новый, геометрический оттенок понимания функции неизбежен для того этапа развития математики, который начался вслед за возникновением теории множеств. Другой создатель теории множеств - Георг Кантор - большую часть своих дискуссионных работ посвятил обсуждению вопроса о том, что нет необходимости отдавать предпочтение в науке понятию потенциальной бесконечности, и что признание актуальной бесконечности открывает перед математикой и .перед наукой в целом - новые перспективы.

Обратимся к определению этих двух форм бесконечности.

Под термином "актуальная бесконечность" понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно ([26], стр. 15).

"Понятие актуальной бесконечности фигурировало в философии задолго до описываемых здесь работ по основаниям математики, и в качестве противоположного ему понятия рассматривалась идея другого рода, которая получила название "потенциальной бесконечности". Смысл этого понятия состоит в том, что рассматри­вается бесконечное множество осуществимых возможностей. Каждая в отдельности осуществима, осуществимо также любое конечное число этих возможностей, но вместе они неосуществимы" ( [26], стр. 20).

Рассматривая эти определения, мы видим, что потенциальная бесконечность существует в представлении как сукцессивное явление, актуальная же бесконечность - как явление cимультанное, как образ.

Следовательно, для того чтобы с помощью механистического понимания функции можно было создавать образы бесконечных множеств, необходимо было предписать понятию функции этот новый геометрический оттенок, иначе создание этих образов не было бы признанным как нечто осуществимое. А когда мы видим в определении Б4, что понятие функции отождествляется с поняти­ем отображения, то тем самым и декретно уничтожается различие между потенциальной и актуальной бесконечностью.