Л.

Выше мы показали, что в рамках механистической картины мира понятие функции, как и понятие множества, следует отнес­ти к неопределимым понятиям математики. Однако математика, формализующая механистическую картину мира, возникла во времена Ньютона - в период второй революции в математике. Но, быть может, третья революция в математике, происшедшая в начале нашего века и обусловленная созданием теории множеств, вывела нас из рамок этой механистической картины, причём вывела так, что теперь понятие функции и на самом деле строго определяется?

Что же представляет собою эта новейшая математика, развивающаяся с учётом теоретико-множественного мировоззрения?

"В своей аксиоматической форме, - указывает Н.Бурбаки, -математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур" ( [31] , стр. 38). "Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы” ([3I], стр. 105). Понятие же отношения приведено нами в определении Б2 - это некоторое подмножество декартова произведения. Если понимать отношение не просто как образ, умерщвление, - а до того, как с данного понятия был в определении снят оттенок cукцессивности, то тогда оно есть просто (в общем случае) многозначная функция - функция в определении Г.Х.Харди или И.П.Натансона.

Мы видим, таким образом, что теоретико-множественная мате­матика не выводит нас за рамки механистической картины мира. Следовательно, и в теоретико-множественной математике как понятие множества, так и понятие функции следует отнести к числу исходных, начальных, неопределимых понятий, как это cделал Ф.Хаусдорф.

Из рассмотрении этого пункта мы получаем чрезвычайно важно следствие: мы уже закончили процесс отделения в понятии функции того, что в нём относится к реальности, и того, что в данное понятие привнесено творческой силой самого человека. Лишь понимание функции в чисто операциональном плане - это то, что ставит её в однозначное соответствие с реальностью. Всё другое в данном понятии - это специфические оттенки понимания, помогающие живой человеческой мысли конструировать математическое здание и применять истины, добытые математикой, для решения прикладных задач.

Именно в последнем смысле мы и имеем возможность говорить о функции как о системе понятий. Если опираться на определение системы, как некоторого объекта, состоящего из множества взаимодействующих подсистем, то подсистемами в понятии функции являются: рецепт, отображение, переменная величина и дру­гие вскрытые нами оттенки понимания. Специфика данной системы состоит в том, что каждая её подсистема обладает входами, ориентированными на вполне определённую область математического знания: если функцию представляют как рецепт, оператор, математическую машину, то такое понимание приспособлено более для нужд вычислительной математики; если же функцию представляют как отображение, тогда она хорошо работает в геометрических вопросах - и т.д. Такое объяснение природы понятия функции позволяет легко понять, почему оно относится к "предельным понятиям" ([39],стр. 15), лежащим в основании универсальных объяснительных схем.