М.

Заметим, что точку зрения неопределимости двух математических понятий - понятия множества и понятия функции - разделяют также авторы [II] , [4I].

В ряде работ позиция авторов остаётся не до конца ясной. К таким работам нужно отнести цитировавшуюся выше работу академика П.С.Александрова (определение Б4), а также работу академика А.Н.Колмогорова и С.В.Фомина ([12] , стр. 14), где понятие функции разъясняется точно так же, как и у П.С.Александрова.

Очень примечательным является тот факт, что во всех учебниках и монографиях, написанных А.Н.Колмогоровым на протяжении нескольких десятков лет, нигде не говорится о том, что понятие функции неопределимо, и лишь в недавней статье “Что такое функция", написанной для школьников, мы можем с полной определённостью прочесть:

"Каким же способом люди объясняют друг другу своё понимание смысла основных понятий? Для этого не существует другого способа, как разъяснение на примерах и при помощи подробного описания характерных свойств определяемых вещей. Эти описания могут быть в деталях не вполне ясными и сначала неисчерпывающими. Но постепенно из них смысл понятия вырисовывается с достаточной ясностью. Так мы подойдём к понятию функции считая его одним из основных математических понятий, не подлежа­щих формальному определению” ( [13], стр. 27).

Не совсем определённую позицию по поводу понятия функции можно обнаружить и у академика Н.Н.Лузина:

"С формальной точки зрения переменная величина y является тогда функцией переменной величины x :

y=f(x),

когда всякому числовому значению переменной x отвечает вполне определённое численное значение переменной y.

Учащийся, однако, не должен переоценивать силы этого определений функции, потому что в нём выражается только та мысль, что когда нам даётся численное значение для Х , то мы умеем вычислить или вообще как-то определить численное значение для y . И ничего больше в этом определении не содержится.

Поэтому эта формальная точка зрения является, собственно говоря, лишь логической схемой, в которой мы укладываем самые разнообразные по своей природе функциональные зависимости". ([I9],стр.40).

Собственно определение функции Лузиным дано лишь в первом абзаце, а затем автор только разъясняет формально-логический оттенок сформулированного определения понятия функции, которое приобретёт сущность и оживёт в процессе изучения матема­тики. Этой формой разъяснения можно было бы сопроводить и определения, которые формулируют П.С.Александров и А.Н.Колмогоров.

Некоторую путаницу по поводу понимания природы функции внесла "Философская энциклопедия" [33]. В её третьем томе мы обнаруживаем:

"Форма, отвлечённая от содержания, выступает как самостоятельный объект, так что непосредственным предметом математики оказываются: числа, а не совокупности предметов, геометрические фигуры, а не реальные тела и т.п. В природе есть, например. тела более или менее шарообразной формы, но шарообразная форма, взятая сама по себе, превращается в идеальный объект - геометрический шар; в природе есть разнообразные связи переменных величин, чистая же форма такой связи выступает в математике как идеальный объект - функция, и т.д." (стр. 329).

В этом отрывке, взятом из статьи "Математика", написанной академиком А.Д.Александровым, можно усмотреть выраженную в несколько иной форме ту же самую мысль, которую мы неоднократно подчёркивали, - мысль о неопределимости понятия функции через понятие множества, - ибо связи между переменными величинами природы нельзя определить через сами же переменные ве­личины.

А вот что можно прочесть в её пятом томе: " С возникновением теории множеств понятие функции было точно определено в теоретико-множественных терминах...” (стр. 419).

Но мы видели как раз, что в теории множеств понятие функции определяется через понятие множества, и с помощью такого "определения" из понятия функции начисто изгоняется её живая душа.

Отметим, что существует также тенденция сделать так, чтобы в качестве исходного неопределимого понятия математики оставить лишь понятие функции, а уже само понятие множества определить через понятие функции. 9та тенденция наблюдается, на­пример, в теории категорий [l7] . Мы не будем разбирать, как это делается, и отметим лишь, что ложность такой тенденции нами уже достаточно обоснована.