0.

Резюмируем наши исследования соответствующими выводами.

а. Анализ понятия функции, а также соотнесение этого поня­тия как с общим математическим теоретико-множественным, так и с механистическим мировоззрением, позволяет заключить, что и понятие множества, и понятие функции следует отнести к пер­воначальным, исходным, неопределимым понятиям математики.

 б. Символическая формула механистического мировоззрения

                     M={M,F},                 

и обоснованная нами её математическая модель

             M={M,F}                                                                        

приводят к заключению, что теоретико-множественное мировоззрение в математике является завершающим этапом математической формализации системы мира, созданной ещё в трудах Ньютона, что косвенно говорит о завершении системы представлений о функции.

в. В процессе исследований мы выделили следующую систему представлений, следующие оттенки её понимания:

1. Операциональный (механистический):

Функция - это "математическая” машина, двигатель, сила ("оператор" - [15],стр. 14, "трансформатор" – [4],c.91, "генератор" - [29], "рецепт" – [35]), превращающий элементы одного множества (X) в элементы другого (Y).

2. Причинно-следственный:

Функция - это переменная величина, определённым образом зависящая от изменения другой переменной величины, изменяющейся по некоторому произволу ([1l] , [19] , [25] , [34], [36]).

3. Операционально-геометрический:

Функция - это отображение одного множества (X) в эле­менты другого множества (Y) ([I],[9],[12] ).

4. Неоперационально-геометрический:

Функция - это множество упорядоченных пар (x, у), где

хХ, yY ([4],[10],[16]).

5. Формально-логический.

Если каждому элементу хХ поставлен в соответствие некоторый определённый элемент yY, то  говорят, что задана функция f с областью определения X и областью значений  Y. Символически это определение записывается одним из следующих способов:

a)     xf(x)=y;

b)     y=f(x);

c)     f: XY;

d)     XY.

Вcе пять оттенков понимания представлены здесь в исторической последовательности их возникновения.

в. Наши выявлена также весьма удивительная психологиче­ская закономерность переходов от одного оттенка понимания к другому. Первый оттенок понимания имеет симультанную психологическую характеристику, второй - характеризуется снятием симультанности одним из двух возможных способов, третий - новым видом симультанности (длящимся не бесконечно, а лишь в течение мгновения), четвёртый - снятием симультанности вторым из двух возможных способов и с помощью временной развёртки первичного образа во вторичный — график данной функции. Пятый же оттенок понимания, суммируя и определенным образом фильтруя достижения всех остальных оттенков, до предела превращает понятие функции в логическую, холодную и мёртвую форму.

Примечательным является также тот факт, что наиболее трудно уловимый с помощью понятий и образов оттенок понимания - операциональный - проявлял себя именно в периоды математических революций, когда человеческое сознание наиболее свобод­но инициирует внутри себя многие утончённые мысли, плохо поддающиеся формализации.