Ж.

Итак, мы получили, что определения Б2 и БЗ с точки зрения принятой нами модели мышления обладают общей природой: они получены двумя разными способами снятия с понятия функ­ции оттенка сукцессивности. Но эти два определения в истории развития математики разделяет огромная эпоха.

Определение БЗ, в котором функция трактуется как переменная величина, соответствует той эпохе развития опытного естествознания, когда искали зависимость между двумя различными переменными величинами: задавая по своему собственному произволу значение одной переменной величины x , обнаруживали, что значение другой переменной величины у. уже нельзя считать произвольным, но оно зависит от изменения первой, является как бы её следствием.

При этом оказывалось, что значения переменной величины y можно считать значениями некоторой функции f с аргументом x. Т.е. определение БЗ передаёт причинно-следственный от­тенок понимания функции.

Что же касается определения Б2, то оно возникло уже в 20-м веке, внутри теоретико-множественных концепций, впитав в себя также открытие Декартом способа превращения первичного образа функции в образ вторичный. Необходимость такого определения объясняется, во-первых, необходимостью иметь строгую формали­зацию понятия функции. А во-вторых, законченный (не перемен­ный) образ функции требовался также для того, чтобы множество функций могло выступить "материалом переработки" в более абстрактных "математических машинах", областью определения которых являются уже функции. Эта вторая причина раскрыта как раз в определении Б5, в котором не только разъясняется, что такое функция, но и что представляют собою эти более сложные "математические машины" - операторы.

Очень важным является тот факт, что определение Б2 появилось в эпоху уже развитого состояния теоретико-множественных концепций. В начальный период возникновения теории множеств такого определения вовсе не было, а вместо него существовало понятие отображения, что мы покажем, обратившись вновь к истории.