3.

По данным историка Ф.А.Медведева ([23] , стр. 59) понятие отображения появляется впервые в работе одного из создателей теории множеств Р.Дедекинда в 1887 г. Русский перевод этой работы появился в Казани в 1905 году, и в этом переводе определение отображения звучит так: "Под отображением  какой-либо системы S будем понимать закон, согласно которому каждому определённому элементу s системы принадлежит вполне определённая вещь, которая называется образом S и обозначается символом   (S) …" ( [2], стр. 1-2).

Любопытным оказывается результат языкового анализа сего определения. Слово "отображение" не является, на самом деле, эквивалентом используемого Дедекиндом слова "die Abbildung", имеющего в немецком языке большее количество оттенков. И именно тот наиболее важный оттенок, означающий чистое действие перенесения чего-то с одного предмета на другие, в переводе на русский язык частично теряется. В русском языке слова "отображение" и "образ" значительно менее различимы, чем соответствующие употребляемые Дедекиндом немецкие "die Abbildung" и "das Bild".В одном из своих значений слово "отображение" в русском языке совпадает со словом "образ", в другом оно означает некоторый процесс, т.е., в механистическом понимании, взаимодействие косной, инертной материи с чистым действием, с движением в чистом виде. Что же касается третье­го значения - действия по значению глагола "отображать", - то оно в практическом языковом употреблении почти полностью скрадывается, в отличие от немецкого языка.

Итак, для Дедекинда в понятии отображения важен оттенок, означающий действие чистого перенесения. Но ведь и в понимании функции - в том, которое мы выделили из рассмотрения механистической картины мира - присутствует именно этот оттенок, ибо вместо того чтобы говорить, что функция  элемент sS превращает в элемент u=(s) , мы можем, не повредив истине, сказать и так: функция  переносит точку sS в точку u=(s)  какого-то другого множества. Зачем же тогда Дедекинд слово "функция” заменил другим словом - "отображение"? А дело в том. что на самом деле его обозначение говорит нам о том, что он всё же пользуется прежним понятием функции, но желает лишить её свойства сукцессивности - для Дедекинда "das Bild" множества S, который на самом деле получается в результате поэлементного воздействия функцией  , возникает как бы мгновенно. Этой заменой терминов Дедекинд сделал попытку превратить понятие функции из механистического в геометрическое, ибо именно для геометрии важно рассматривать бесконечное число своих фигур, форм пространственного мира как образы, возникающие из небольшого, конечного числа простых сущностей типа отрезка либо окружности.

Если строго и последовательно стоять на позициях механистического понимания, т.е. считать, что функция f элемент за элементом превращает множество X в множество  Y, то геометрическое её понимание, т.е. факт мгновенной трансформации множества X в множество Y выглядит даже весьма мистически. Можно, отталкиваясь от механистического, к геометрическому пониманию, учитывая семантику слова "отображение”, прийти  следующим образом. Пусть у нас имеется столько экземпляров функции  f , сколько элементов содержит множество X. Тогда всеми этими экземплярами мы сможем одновременно подействовать на все точки множества .X  и, тем самым, мгновенно превратить его в точки множества  Y . Это необходимое количество экземпляров! функции  f и называется тогда отображением.

Мы видим, что Дедекинд сохраняет за созданным им понятием отображения тот же смысл, который вкладывается в механистическое понимание функции - как функция, так и отображение являются чистыми операциональностями, действиями в чистом виде. Он совсем не стремится отождествить понятие отображения с самим образом, тем более у него нет декартовой развертки образа в некоторый вторичный образ - график функции. Но уже Хаусдорф, писавший.свой труд в начале 20-го века, объясняет понятие функции с помощью множества пар, т.е. с привлечением декартовой развёртки образа, но считает понятие функции неопределимым. В труде же К.Куратовского и А.Мостовского понятие функции отождествляется с её вторичным образом и считается, что понятие функции строго определено через понятие множества.