Урок 1
Матрицы
А. Знания.
1.Что такое матрица?
2.Как определяется произведение матриц?
3.Какие преобразования матрицы называются
элементарными?
4.Какие матрицы называются мультипликаторами?
5.Как взаимосвязаны элементарные преобразования
и мультипликаторы?
6.Что такое обратная матрица?
7.Как находить обратные мультипликаторы?
8.Как разложить матрицу на произведение
мультипликаторов?
9.Что такое определитель?
10.В чём состоят 6
классических свойств определителя?
11.Как вычислить
определитель через элементы матрицы?
12.Что такое минор?
13.Что такое адъюнкт?
14.Как вычислить
определитель с помощью разложения по строке?
15.Как вычислить обратную
матрицу с помощью адъюнктов?
16.Что такое
невырожденная система линейных уравнений?
17.Как решить
невырожденную систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы?
18.Как решить
невырожденную систему линейных уравнений с помощью теоремы Крамера?
Ответы на вопросы
искать в лекциях.
В. Навыки.
Студент должен уметь
бегло решать следующую задачу.
Дана матрица А и вектор b.
1.Разложить её на
произведение мультипликаторов.
2.Найти А-1 с
помощью элементарных преобразований.
3.Найти А-1 с
помощью адъюнктов.
4.Найти det(A)
по определению.
5.Найти det(A) с
помощью разложения по строке. или
столбцу и используя классические
свойства определителя.
6.Решить систему Ax=b c помощью обратной матрицы.
7.Решить систему Ax=b по правилу Крамера.
Для
приобретения беглости решить эту задачу для следующих 9 матриц 3-го порядка.
|
A |
b |
A |
b |
A |
b |
|
1 -1
2 1 0
2 2 -2
5 |
2 3 5 |
1 -1
2 2 -1
4 2 -2
5 |
4 7 9 |
3 -2
6 2 -1
4 4 -4
10 |
11 7 18 |
|
3 -2
6 5 -3
10 4 -4
10 |
11 18 18 |
1 2
-1 2 5
-1 2 4
8 |
2 6 14 |
3 7
-2 2 5
-1 3 6
7 |
8 6 16 |
|
3 7
-2 5 12
-3 1 1 8 |
8 14 10 |
1 1 1 1 2
2 2 2 3 |
3 5 7 |
2 2 2 2 3 3 3 3 4 |
6 8 10 |
PS.Решая задачи, одновременно и постоянно думайте над вопросом, почему вы,
кушая, несёте ложку с борщом в рот, а не в ухо.
Пример.
|
A |
b |
|
1 2 0
0
1 0 -2 -4
1 |
3 1 -5 |
1.Разложим матрицу А на произведение мультипликаторов.
1а.Приведём матрицу
А к матрице Е с помощью элементарных преобразований:
1
2 0 1
2 0 s1-2s2 1 0 1
0
1 0 0 1
0 0 1 0
-2
-4 1 s3+2s1 0 0 1 0 0 1
1б.Переведём произведённые действия на язык мультипликаторов:
H12(-2) H31(2) A=E (*)
1в.Из равенства (*)
по правилу одевания-раздевания получим:
A=H31(-2)H12(2).
1г.Возбуждаемые мыслью PS, сделаем проверку:
1 2 0 1
2 0
0 1 0 0 1 0
A=H31(-2) 0 0 1 = -2 -4
1.
2.Найдём
А-1 с помощью элементарных преобразований:
1 2
0 1 0 0 1 2
0 1 0 0
1 0 0 1 -2
0
0 1
0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0
-2 -4 1 0 0 1 s3+2s1 0 0 1
2 0 1 s1-2s2 0 0 1 2
0 1.
Итак, 1
-2 0
A-1= 0 1 0
2 0 1
Замечание.Беспокоемые мыслью PS, проверьте
справедливость равенства A-1A=E.
3.НАЙДЁМ A-1 С ПОМОЩЬЮ АДЪЮНКТОВ:
a11
= 1, a12=0, a13=2,
a21
= -2, a22=1,
a23=0,
a31
= 0, A32=
0, a33=1.
1 -2 0
пОЭТОМУ a-1= 0
1 0
2 0 1
Истинность ответа очевидна при сравнении с ответом
предыдущей задачи.
4.
Вычислим det(A) с помощью определения.
Так как
A=H31(-2)H12(2),
то
det(A)=
det(H31(-2))det(H12(2))=1.
5.
Вычислим определитель, разлагая по третьему столбцу, ибо та уже есть два нуля:
det(A) = 1* (1*1- 0*2) = 1.
6.
Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:
x 1
-2 0 3
1
y = 0
1 0 *
1 = 1
z 2
0 1 -5
1
Итак, x=1, y=1, z=1.
Так как в нас зудит мысль PS , то делаем проверку, подставляя
найденные значения в систему уравнений.
Убеждаемся,
что решение найдено правильно.
7.
Решим систему уравнений с помощью правила Крамера.
1
2 0
3 2 0
1 3 0
1 2 3
A= 0 1 0 B1= 1 1 0 B2= 0
1 0 B3= 0
1 1
-2 -4 1 -5 -4 1
-2 -5 1 -2 -4 -5
detA =1, detB1 =1, detB2 = 1, detB3 = 1.
x=detB1/detA=1,
y=detB2/detA=1, z=detB3/detA=1.
Жужжащая в нас мысль PS заставляет
нас сверить полученные результаты с результатами решения задачи 6
и убедиться, что мы не сделали ошибки.