Урок 2
Линеалы
А. Знания.
1.Что такое скалярное произведение?
2. Что такое векторное произведение?
3. Что такое смешанное произведение?
4. как вычислить длину вектора через скалярное
произведение?
5. Как вычислить площадь параллелограмма через
векторное произведение?
6. Как вычислить оъём
параллелепипеда через смешанное произведение?
7. Что такое определитель Грама?
8. Как вычислить длину вектора, площадь
параллелограмма, объём паралеллепипеда с помощью
определителя Грама?
9. Как вычислить работу с помощью скалярного
произведения?
10.Как
вычислить момент силы с помощью векторного произведения?
11.Как задать
прямую на плоскости в параметрической форме ?
12.Как задать прямую в параметрической форме в трёхмерном пространстве?
13.Как задать
одномерное линейное многообразие в пятимерном пространстве?
14.Как задать
плоскость в параметрической форме в трёхмерном пространстве?
15.Как задать
двумерное линейное многообразие в пятимерном пространстве?
16.Что такое к-мерное линейное многообразие в n-мерном пространстве?
17.Что такое
ранг матрицы?
18.Сформулировать
теорему Кронекера-Капелли.
В. Навыки.
Следует
научиться бегло решать следующую задачу.
Дана система
уравнений Ax=b, x - точка n-мерного пространства.
1.Найти rang(A).
2.Найти rang(A|b).
3.Применяя
теорему Кронекера-Капелли, установить размерность k множества решений.
4. Найти точки
A1, A2, A3, …,Ak, Ak+1 – решения системы.
5. Построить направляющие векторы pi = Ai+1 - Ai
(Эти
направляющие векторы обычно называют фундаментальной системой решений).
6. Сконструировать к-мерное линейное многообразие. являющееся множеством решений
системы.
7. Сделать проверку.
Для придания беглости решить системы
со следующими А и b.
|
A |
b |
A |
b |
A |
b |
|
3 4 1 2
4 1 6 8
2 |
1 3 2 |
3 4
7 2
4 5 6 8
14 |
2 4 4 |
3 1
7 2
2 5 6 2
14 |
1 1 2 |
|
3
2 3 6
4 6 9
6 9 |
3 6 9 |
5
2 3 10 5 6 15
6 9 |
2 4 6 |
5
5
3 10 10 6 15
16 9 |
0 0 0 |
|
3
4 1 2 2
4 1 3 6 8
2 4 |
2 3 4 |
3
4 7 2 2
4 5 5 6 8
14 4 |
3 4 6 |
3
1 7 3 2
2 5 4 6 2
14 6 |
0 0 0 |
Пример.
Решить систему Ax=b, где:
|
А |
b |
|
1 1 2 2 2 4 4 4 8 |
1 2 4 |
Рассмотрим
последовательность действий:
1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 0 0
2 2 4 2 s2-2s1
0 0 0 0 0 0 0 0
4 4 8 4 s3-4s1
0 0 0 0 0 0 0 0.
Отсюда
заключаем, что:
1.rang(A)=1.
2.rang(A|b)=1.
3.Применяя
теорему Кронекера-Капелли, заключаем, что
X=P(3-1) = P(2) ,
т.е. множество
решений системы является линейным многообразием размерности 2 в трёхмерном
пространстве.
4.Для того
чтобы задать это многообразие, нужно найти три решения A, B, C этой системы.
Так как два последних уравнения зануляются, то A, B, C следует найти из уранения:
x+y+2z=1.
Так как
уравнений всего одно, а неизвестных – три, то двум неизвестным можно задавать
произвольные значения.
Пусть x=1, y=2. Тогда z= -1.
Cледовательно, A=(1, 2, -1).
Пусть x=3, y=0. Тогда z= -1.
Cледовательно, B=(3, 0, -1).
Пусть x=2, z=0. Тогда y= -1.
Cледовательно, C=(2, -1, 0).
5.Построим
направляющие векторы:
p= B-A=(2, -2,
0), q= C – A = (1, -3, 1).
6.Таким
образом, множество решений системы будет иметь вид:
x=1 +2u+v
X=={(x,y,z)| y=2 -2u-3v }.
z=-1+v
7.Сделаем
проверку. Так как второе и третье уравнения пропорциональны первому, то
достаточно полученные решения подставить в первое уравнение:
1+2u+v+2-2u-3v-2+2v=1
1=1.
Таким образом, множество X является истинным.