Урок 3
Квадрики
А.Знания.
Ответить на вопросы:
1.Что такое соственное число и собственный
вектор?
2.Что такое характеристический многочлен?
3.Что такое вековое уравнение?
4.Какова формула, облегчающая нахождение характеристического многочлена в
случае матрицы второго порядка?
5.Какова формула, облегчающая нахождение характеристического многочлена в
случае матрицы третьего порядка?
6.Что можно сказать о собственных числах симметрической матрицы?
7.Что можно сказать о собственных векторах симметрической матрицы?
8.Что такое квадрика?
9.Что такое нормированный вектор?
10.Как составляется матрица перехода к новому базису, в котором квадрика
имеет канонический вид?
В.Навыки.
Решить задачу.
Дана матрица А.
1.Найти её собственные числа l1, l2,
... , lk.
2.Для каждого li найти множество собственных векторов Xli.
Для беглости решить задачу для следующих девяти матриц.
|
1 0 0 2 1 0 3 0 1 |
1 0 0 0 1 1 0 1 1 |
1 2
3 0 4
5 0 0 6 |
|
1 0 0 1 1 0 1 0 1 |
1 1 1 1 0 0 1 0 0 |
1
8 -4 8
1 4 -4 4
7 |
|
0 0 0 0 0 -1 0 -1
0 |
1
1
0 1
1
1 0
0
1 |
6 -6
-6 -6
-3 -12 -6 -12 -3
|
Рассмотрим
пример.
|
A |
|
1
1 0
0 1 1 0 0 1
|
1.Найдём
собственные числа:
divA=1+1+1=3, divM=1+1+1=3, detA=1.
Cледовательно,
характеристический многочлен имеет вид:
l3-3l2+3l-1=0,
или:
(l-1)3=0,
откуда l1=l2=l3=1.
2. Найдём
множество Х собственных векторов, соответствующих
собственному числу 1:
0 1 0
B=A-E= 0 0
1
0 0 0
rang B= 2, поэтому X=P(1).
Решаем
систему:
0x+y+0z=0
0x+0y+z=0,
из которой
видно, что:
x=t
X={(x,y,z)| y=0 }.
z=0